接弦定理の概要とその証明方法まとめ

接弦定理とはどんな定理なのか、そしてその証明方法についてまとめます。

「円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その角の内部にある弧の円周角と等しい」という定理です。

これを図にすると以下のようになります。

同じ色がついた角が同角になります。

接弦定理の証明をしてみたいと思います。
円の直径Dを点Bに対して引き、三角形の直角と円周角を用いると、簡単に求めることができます。
下図を見てください。

点Bに対して直径Dを引いています。
Dは直径なので、
円周角により、$\angle DABは90^{ \circ }$になります。

直角三角形ABDを使って証明を進めていきます。

まず、$\angle ABT = 90^{ \circ } - \angle DBA - ①$

また、三角形の内角の和は180度なので、
$\angle ADB = 90^{ \circ } - \angle DBA - ②$

①②より、
$\angle ABT = \angle ADB$

$\angle ADBと\angle ACB$は同弧なので、円周角の定理により、

$\angle ADB = \angle ACB$

となり証明できます。

他方の角も同様の方法で求めることができます。

wikiを参照しました。

初版:2019/2/11

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