ドモルガンの公式とその証明方法

ドモルガンの公式とその証明方法に関して書きます。
まずは、ドモルガンの公式とは何かについて

集合A,Bがあるとすると、

$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$$

が成り立ちます。

どう証明したら良いのかと考えましたが、単純に集合Aと集合Bをペン図で一般して、
図示することで証明することができます。

まず、
$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
のケースの証明をペン図で表します。
下図を見てください。

$\overline{A \cap B}$と$\overline{A} \cup \overline{B}$
をペン図で表しています。

共通部分を示す斜線が一緒なので

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

となり、証明することができます。

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
に関しても同様にペン図で一般化して証明します。
一緒なので、省きますが

いずれもペン図で一般化すれば証明できますね。

初版:2018/6/18

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