複2次式の因数分解のコツ

複2次式とは、$x^4 + 2x^2 + 4 = 0$
のように3次と1次の項がない4次式の事をいいます。

複2次式の因数分解をするには、以下の２パターンの解法があります。

これで、因数分解できるならこれで

平方の差とは、
$A^2 - B^2$
のような形のことを指します。
この形に持ち込むことで、因数分解をわかりやすくします。

では、例題を

$x^4 + 4x^2 + 4$の形ならば$(x^2 + 2)^2$と2次式にすることができます。
$-2x^2$を式に加えることによって、その形を作れるようにします。

$x^4 + 4x^2 + 4 - 2x^2 = 0$

$-2x^2$が$-(\sqrt{2}x)^2$と変形できるので、平方の差を作る事ができます。

$(x^2 + 2)^2 -(\sqrt{2}x)^2 = 0$

それぞれの式をA,Bなどの文字に置き換えて考えると次のように因数分解できます

$(x^2 + \sqrt{2}x + 2)(x^2 - \sqrt{2}x + 2) = 0$

よって、$x^2 + \sqrt{2}x + 2 = 0$
または、
$x^2 - \sqrt{2}x + 2 = 0$

各々を解の方程式で因数分解して、解を求めることができます。

初版:2019/7/16