2次方程式で2つの解が共に正である時の条件
2次方程式の2つの解が共に正の時の2次方程式の定数の値を求めよ
という問題の解法をまとめます。
2つの解が共に正である時の条件
2次方程式
$ax^2 + bx + c = 0$の2つの解をα,βとします。
判別式をDとすると
①$α > 0$ かつ $β > 0 \Leftrightarrow$ ②$D \geqq 0$ かつ $α + β > 0$ かつ $αβ > 0$
$① \Rightarrow ②$の証明
α,βが共に正なら、α,βは実数で、その和も積も正なので、成り立ちます。
$② \Rightarrow ①$の証明
$D \geqq 0$より、2次方程式は実数解をもつので、α,βは実数です。
また、αβ > 0から、α,βは同符号です。
ここで、α + β > 0から、α、βが共に正であることがわかります。
よって①が成り立ちます。
注:α,βに虚数が含まれていた場合、虚数には大小関係がないため、α > 0,β > 0ということが言えません。
ですので、実数であるという条件が必要になります
初版:2019/7/14
