2次方程式の解と係数の関係の公式の証明

2次方程式の解と係数の関係の公式の証明をします。
まず、解と係数の関係の公式ってなんだよって感じですが、以下のようなものです。。。

$ax^2 + bx + c = 0 (a \ne 0)$
の二つの解をα,βとすると

$\displaystyle α + β = - {b \over a}$

$\displaystyle αβ = {c \over a}$

となります。
次にこれの証明をします。

まず解の公式より

$\displaystyle α = {-b - \sqrt{D} \over 2a}$

$\displaystyle β = {-b + \sqrt{D} \over 2a}$

$\displaystyle D = b^2 - 4ac$

これより、

$\displaystyle α + β = {-2b \over 2a} = -{b \over a}$

$\displaystyle αβ = {b^2 - D \over 4a^2} = {4ac \over 4a^2} = {c \over a}$

となり、解の公式を使うと気持ちよく求めることができます。
特に乗算は美しいですね

初版:2018/6/1