定積分で表された関数の決定問題の解法テクニックについて

関数f(x)内に定積分が含まれている場合の解法テクニックについて、
まとめたいと思います。

例題は以下のようになります。

$$f(x) = 2x^2 + 1 + \int_0^1 xf(t)dt$$

積分の区間が1,0と定数なので、
$\displaystyle \int_0^1 xf(t)dt$の箇所はxを除くと定数になるので、
定数 = kとおくことで、計算します。
まとめると、

a,bが定数の時、$\displaystyle \int_a^b f(t)dt$は定数=kとおく

では、問題の解法を見ていきます。

xは積分変数tに無関係であるから

$\int_0^1 xf(t)dt = x \int_0^1 f(t)dt$

$\int_0^1 f(t)dt$は定数であるから、$\int_0^1 f(t)dt = k$とおくと

$f(x) = 2x^2 + 1 + xk$

よって、
$k = \int_0^1 f(t)dt = \int_0^1(2t^2 + kt + 1)dt = \displaystyle \left[ \frac{2}{3}t^3 + \frac{k}{2}t^2 + t \right]_0^1$

$\displaystyle = \frac{2}{3} + \frac{k}{2} + 1$

よって

$\displaystyle k = \frac{k}{2} + \frac{5}{3}$

$\displaystyle k = \frac{10}{3}$

定数kを代入して

$\displaystyle f(x) = 2x^2 + \frac{10}{3}x + 1$

となり、f(x)を求めることができました。

初版:2018/8/26

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