数列の和から数列の一般項求める問題の解法
数列の和から数列の一般項やその数列の部分数列などを求める問題の解法を見ていきます。
まず例題からみてみましょう。
初項から第n項までの和が$2n^2 - n$となる数列$\{a_n\}$について、一般項$a_n$を求めよ
一般項anにおいて、初項から第n項まで和をSnとします。
このSnを並べてみると、一般項$a_n$が切りだせることがわかります。
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ・・・ + a_{n-1} + a_n$
$S_{n-1} = a_1 + a_2 + a_3 + ・・・ + a_{n-1}$
上記からわかるように、$S_n$から$S_{n-1}$を引けばanが求められることがわかります。
ただ、n = 1の場合だと、$S_{n-1}$が0になってしまうためn >= 2である必要があります。
以上を踏まえて、例題の解答例を見てみます。
例題の解答例
n >= 2のとき $a_n - a_{n-1}$を計算して
$a_n = (2n^2 - n) - \{2(n - 1)^2 - (n - 1)\}$
よって
$a_n = 4n - 3・・・①$
ここで、n = 1で成り立つかどうかのチェックをします。
仮定により、
$a_1 = 1$
$S_1 = 1$
となるので、①はn = 1の時もなりたちます。
よって、$a_n = 4n - 3$
となり、一般項を求めることができました。
初版:2018/9/16
