2次関数の最大・最小置換系問題の解法テクニック

2次関数の最大・最小の置換系問題の解法テクニックをまとめたいと思います。
まずは、簡単な問題から...

直感でわかるように

$x^2 = t$

などと置き換えることによって、式を簡単にします。

また、置き換えた式の範囲にも気をつけましょう!
ここでは、

$x^2\geq0$ より
$t^2\geq0$ となります。

では、置き換えた式を展開していきましょう。

$y = -x^4 + 6x^2$
ここで、
$x^2 = t$とおくと

$y = -t^2 + 6t$
$y = -(t -3)^2 + 9$

よってt = 3のとき、最大値y = 9,
$t \geq 0$
だから、最小値はない

t = 3とすると
$ x = \pm \sqrt{3}$

$ x = \pm \sqrt{3}$のとき、最大値9,最小値はない

置き換えた時の範囲を明確にし、最大値・最小値を割り出せるようにするのがポイントです。

2018/5/10