三角比の角度公式の証明
三角比の角度の公式をまとめたいと思います。
角度の公式といっているのは、θ + 90°や90° - θといった類のものです。
90° - θ(0° <= θ <= 90°)のとき
| sin(90° - θ) | cosθ |
| cos(90° - θ) | sinθ |
| tan(90° - θ) | ${1 \over tanθ}$ |
90° + θ(0° <= θ <= 90°)のとき
| sin(90° + θ) | cosθ |
| cos(90° + θ) | -sinθ |
| tan(90° + θ) | $-{1 \over tanθ}$ |
180° - θ(0° <= θ <= 180°)のとき
| sin(180° - θ) | sinθ |
| cos(180° - θ) | -cosθ |
| tan(180° - θ) | $-tanθ$ |
90° - θ(0° <= θ <= 90°)のときの証明
下図のように単位円があり、角度がθの直角三角形OPQがあり、
その直角三角形OPQに(90° - θ)回転させた直角三角形をOP1Q1とします。
また、点Pを(p,q),点P1を(p1,q1)とします。
三角形は合同だから、
OQ = OQ1 = p = cosθ(単位円より)
P1Q1 = PQ = q = sinθ(単位円より)
なので、P1(sinθ,cosθ)
$\angle P1Ox = 90° - θ$
であることから。
$sin(90° - θ) = q1 = p = cosθ$
$cos(90° - θ) = p1 = q = sinθ$
$tan(90° - θ) = {p \over q} = {1 \over tanθ}$
他の証明もこれを応用すれば証明できそうです。
初版:2018/5/29
更新:2018/5/30
