方べきの定理とその証明について

方べきの定理の定義とその証明方法の解説します。

円と三角形が下図のような形状の場合に以下の定理が成り立ちます。

図1

図2

の時

$$PA・PC = PB・PD$$

と定義することができます。

では、図1のケースを考えて、方べきの定理を証明していきます。

下図のように線AD、線BCを引いて円周角の定理を利用すると、

$\angle BAC = \angle CDB　・・・①$

$\angle ABD = \angle DCA　・・・②$

となり、2角が等しいので、三角形PACと三角形PDCは相似であることがわかります。

相似なので、両三角形は比が等しいので、

$PA : PB = PD : PC$

これを展開して、

$PA ・ PC = PB ・PD$

となり証明することできました。

続いて、図2のケースの際の方べきの定理の証明をします。

ここでは、四角形ABDCが円に内接していることを利用して、

$\angle BDC = \angle PAB$

また、角Pは三角形PABとPCDと共通角なので、
三角形PABと三角形PDCは相似であることがわかり、図1のケースと同様に証明することができます。

方べきの定理には、下図のように三角形と円とが接点となるケースもあります。

この場合は、

$$PA ・ PB = PC^2$$

が成り立ちます。

では、円との接点に関連したケースの方べきの定理の証明をします。

図のように、点Cは接点なので、接舷定理により

$\angle PCA = \angle PBC$

三角形PACと三角形PCBにおいて、角Pは共通なので、
三角形PACと三角形PCBは相似であることがわかります。

よって、$PA : PC = PC : PB$

これを展開して

$$PC^2 = PA ・ PB$$

となり、証明することができました。

初版:2018/11/18

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