三角形の傍心の性質とその証明

図のように三角形の一つの頂点における内閣の２等分線と、
他の2つの頂点における外角の2等分線は一点で交わる。
この点を傍心という。

また、傍心を中心として、一辺と他の2辺の延長線に接する円がかけ、
この円を三角形の傍接円という。

一つの三角形において、傍心は3つあるので、傍接円は3つある。
図にある傍心Iaは頂角A内の傍心という。

下図のように\(\triangle ABC\)で、\(\angle B, \angle C\)の外角の2等分線の交点Iaとし、
Iaから辺BC,CA,ABまたはその延長に垂線IaD,IaE,IaFをおろす。

直角三角形の斜辺と他の一辺が等しいので、
\(\triangle 三角形IaBD \equiv \triangle IaBF\)から

IaD = IaF

同様に、IaD = IaE

ゆえ、IaE = IaF

直角三角形の斜辺と他の一辺が等しいので、
\(\triangle IaAE \equiv \triangle IaAF\)

ゆえ、
\(\angle IaAE = \angle IaAF\)

すなわちAIaは\(\angle A\)の2等分線である。

他も同じ性質を利用して求められる。

初版:2021/6/21

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