メネラウスの定理の逆とその証明方法について

メネラウスの定理の逆とは以下のような性質を示します。

ABCの辺BC,CA,ABまたはその延長上に、
それぞれ点D,E,Fをとり、この3点のうち、辺の延長上にある点の個数は1か3であるとする。

メネラウスの逆の概要図

このとき、

AFFBBDDCCEEA=1が成り立てば、

3点D,E,Fは一直線上にある。

メネラウスの定理の逆の証明

下図のように、2点F,Eはそれぞれ辺AB,AC上にあるとする。

メネラウスの逆の概要図

直線FEと辺BCの延長との交点をD'とすると、メネラウスの定理より、

AFFBBDDCCEEA=1

これに条件の等式から

BDDC=BDDC

D,D'はともに辺BCの延長上にあるから、D'とDは一致し、3点FEDは一直線上にある。

初版:2021/6/23