多項定理の公式と使い方

多項定理の概念・公式についてまとめます。

$(a + b + c)^n$の$a^αb^βc^γ$の係数は

$$\displaystyle \frac{n!}{α!β!γ!}$$

だだし、$α + β + γ = n$

$(a + b + c)^n = (a + b + c) × (a + b + c) × (a + b + c) × \cdot \cdot \cdot × (a + b + c)$

において、各々の$(a + b + c)$に1,2,3,・・・nと番号を振ります。

1〜nから、それぞれa,b,cのいずれかをとって、それらを掛け合わせて、和を作ると、$(a + b + c)^n$の展開式ができます。

なので、$a^αb^βc^γ$の係数は1〜nから、aをα個,bをβ個,cをγ個選ぶ場合の数と同じになります。

これを、同じ物を含む順列の数として考えると、係数は

$\displaystyle \frac{n!}{α!β!γ!}$

と考えることができます。

つまりは、3項でなく4項でも同じように、定理が成り立つことがわかります。

初版:2019/10/21

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