部分分数分解の公式と解説

部分分数分解とは、分母が積になっている分数を分解して、別々の式にします。
通分の逆ということですね。
公式は以下になります。

$a != 0$の時(!=はnot equalの意味)

\( \displaystyle \frac{1}{(x + a)(x + b)} = \frac{1}{b - a} \cdot (\frac{1}{x + a} - \frac{1}{x + b})\)

解説をすると

\( \displaystyle \frac{1}{(x + a)(x + b)}\)

ここから、$(x + b) - (x + a)$の形に直して、部分分数に分けやすいようにする

\( \displaystyle \frac{1}{b - a} \cdot \frac{(x + b) - (x + a)}{(x + a)(x + b)}\)

ここで、通分の逆を行う

\( \displaystyle = \frac{1}{b - a} \cdot (\frac{1}{x + a} - \frac{1}{x + b})\)

公式より分子が1で、分母が+で乗算式になっていることが公式を使用できる条件です。

    1               1
---------- + -----------------
 a(a + 1)     (a + 1)(a + 2)

 *捕捉

各々が

    1                1
----------  = -----------------
 a(a + 1)      (a + 0)(a + 1)

       1
----------------- これはそのまま..
  (a + 1)(a + 2)

となり公式が適応できます

公式に当てはめて

  1   (    1            1    )       1   (     1           1    )
----- ( -------  -  -------- )  +  ----- ( --------  -  ------- )
1 - 0 (  a + 0        a + 1  )     2 - 1 (   a + 1       a + 2  )

    1         1
= -----  - -------
    a       a + 2

       2
=  ---------
    a(a + 2)

のように使用することができます。

手書きでまとめると...

初版:2018/5/1
改定:2021/7/12

Tweet