円上における接線の公式とその証明について
円上における接線の公式とその証明方法について書きます。
まずは、円上における接線の公式から
円上におけるの接線の公式
円$x^2 + y^2 = r^2$上の点$(a,b)$における接線の方程式は
$$ax + by = r^2$$
円上における接線の公式の証明
円の接点を$P(a,b)$とします。
円の接線の方程式は、点Pが$x$軸上、$y$軸上にある場合と、そうでない場合に別れるので、
それぞれのケースを考えます。
点$P(a,b)$が座標軸上にない場合
求める接線は、$点$Pを通り、半径$OP$(傾き$ \displaystyle \frac{b}{a}$に垂直な直線(傾き$-\dfrac{a}{b})$だから、
$ \displaystyle y - b = - \frac{a}{b}(x - a)$
整理して
$ax + by = a^2 + b^2$
ここで、点Pは円上にあるので、円の方程式に代入して
$a^2 + b^2 + r^2$
よって、接線の方程式は
$ax + by = r^2$ - ①
点$P$が$x$軸上にあるとき
$P$が$x$軸上にあるとき、接線の方程式は
$x = r$ または $x = -r$
になります。
これは、①の公式に、$a = r,b = 0$とすると得ることができます。
点$P$が$y$軸上にあるとき
$P$が$y$軸上にあるとき、接線の方程式は
$y = r$ または $y = -r$
になります。
これは、①の公式に、$a = 0,b = y$とすると得ることができます。
初版:2019/7/25
初版:2022/12/29(文字の誤りなどの修正(内容に修正なし))
