円上における接線の公式とその証明について

円上における接線の公式とその証明方法について書きます。
まずは、円上における接線の公式から

円$x^2 + y^2 = r^2$上の点$(a,b)$における接線の方程式は

$$ax + by = r^2$$

円の接点を$P(a,b)$とします。
円の接線の方程式は、点Pが$x$軸上、$y$軸上にある場合と、そうでない場合に別れるので、
それぞれのケースを考えます。

求める接線は、$点$Pを通り、半径$OP$(傾き$\displaystyle \frac{b}{a}$に垂直な直線(傾き$-\dfrac{a}{b})$だから、

$\displaystyle y - b = - \frac{a}{b}(x - a)$

整理して

$ax + by = a^2 + b^2$

ここで、点Pは円上にあるので、円の方程式に代入して
$a^2 + b^2 + r^2$

よって、接線の方程式は
$ax + by = r^2$ - ①

$P$が$x$軸上にあるとき、接線の方程式は
$x = r$ または $x = -r$
になります。

これは、①の公式に、$a = r,b = 0$とすると得ることができます。

$P$が$y$軸上にあるとき、接線の方程式は
$y = r$ または $y = -r$
になります。

これは、①の公式に、$a = 0,b = y$とすると得ることができます。

初版:2019/7/25
初版:2022/12/29(文字の誤りなどの修正(内容に修正なし))