点と直線の距離を利用した三角形の面積の求め方

三角形の3点の座標がわかっていると、以下の公式により三角形の面積を求めることができます。

3点$O(0,0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$
を頂点とする三角形の面積Sは

$$ \displaystyle S = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$$

3点を$O(0,0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$として、
まず直線ABの方程式を求めます。

$ \displaystyle y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$

両辺に$x_2 - x_1$をかけて

$(y_2 - y_1)(x - x_1) - (x_2 - x_1)(y - y_1) = 0$

整理して

$(y_2 - y_1)x - (x_2 - x_1)y + x_2y_1 - x_1y_2 = 0$

点O(0,0)とこの直線の距離をhとして、

$ \displaystyle h = \frac{|x_2y_1 - x_1y_2|}{\sqrt{(y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2}}$

$ \displaystyle h = \frac{|x_1y_2 - x_2y_1|}{AB}$

よって、

$ \displaystyle S = \frac{1}{2}AB \cdot h = \frac{1}{2}AB \cdot \frac{|x_1y_2 - x_2y_1|}{AB}$

$ \displaystyle S = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$

この公式を使う時は、一つの頂点を原点に戻して使います。

初版:2021/7/5
初版:2022/12/29(数式の書式変更)