三角関数の合成とその利用法について

三角関数の問題を扱う中で、「$sinθ + bcosθ$の最大値を求めよ」など
$θ$の値が変化すると、$sinθ$と$cosθ$が別々に変化するので、全体として扱いにくくなってしまう問題があります。

そこで、$asinθ + bsinθ = rsin(θ + α)$とするなど
三角関数の種類の統一を行うことを三角関数の合成といいます。

下図のように座標平面上に点P(a,b)をとり、線分OPがx軸の正の向きとなす角をα,
OP = rとすると、三角関数の定義から

$sinα = \dfrac{b}{r}$,$cosα = \dfrac{a}{r}$

より、
$a = rcosα$,$b = rsinα$
とすることができます。

よって、

$asinθ + bcosθ = rcosαsinθ + rsinαcosθ$
$=r(sinθcosθ + cosθsinα)$

sinの加法定理を適応して

$=rsin(θ + α)$

この変形を三角関数の合成といい、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$なので、
以下のことが成り立ちます。

$asinθ + bcosθ = \sqrt{a^2 + b^2}sin(θ + α)$

ただし、
$sinα = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$,$cosα = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} $

三角関数の合成の使用例をイメージするために以下の例題と解いてみます。

$y = asinθ + bcosθ$と考えると、
a = 1,b = 1となります。

点P(1,1)をとると、$OP = \sqrt{2}$になります。

線分$OP$とx軸の正の向きとのなす角をαとすると、
$1:1:\sqrt{2}$の三角形となる、もしくは$sinα = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$から判定して
$α = \dfrac{π}{4}$

よって、$y = \sqrt{2}sin(θ + \dfrac{π}{4})$

$-1 \leqq sin(θ + \dfrac{π}{4}) \leqq 1$であるから、
$\sqrt{2}$を両辺にかけて

$-\sqrt{2} \leqq \sqrt{2}sin(θ + \dfrac{π}{4}) \leqq \sqrt{2}$

よって

最大値は$\sqrt{2}$,最小値は$-\sqrt{2}$と求めることができます。

初版:2019/8/5

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