ある1点を通り、ベクトルnに垂直な直線の方程式を求める公式とその証明

下図のように、ある1点A($\vec{a})(x_1,y_1)$を通り、その直線上にある点$P(x,y)$,ベクトル$\vec{n} = (a,b)(\vec{n} \ne \vec{0})$に垂直な直線$l$は以下の式で求められます。

$$a(x - x_1) + b(y - y_1) = 0$$

上図のように点$P(\vec{p})$が直線上$g$上にあるとすると、内積の定義より

$\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$

$\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$ - ①

①が$g$のベクトルの方程式になります。

$A(x_1,y_1),P(x,y),\vec{n} = (a,b)$とすると、①は内積の成分展開により

$g: (a,b) \cdot (x - x_1,y - y_1)$

$g: a(x - x_1) + b(y - y_1) = 0 - ②$

②を展開すると

$ax + by -ax_1 - by_1 = 0$

ここで、$c = -ax_1 - by_1$とおくと、直線$g$は

$ax + by + c = 0$

とおけるので、$\vec{n} = (a,b)$がその直線の法線ベクトルになることがわかります。

初版:2023/11/29

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