三角関数のおける加法定理の公式とその証明方法について

三角関数における加法定理とその証明方法をまとめたいと思います。

2つの角$α,β$の和$α + β$,差$α - β$の三角関数は、$α,β$のそれぞれの三角関数を用いて、
以下のように表されます。

$$\displaystyle sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ - ①$$

$$\displaystyle sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ - ②$$

$$\displaystyle cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ - ③$$

$$\displaystyle cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ - ④$$

$$\displaystyle tan(α + β) = \frac{tanα + tanβ}{1 - tanαtanβ} - ⑤$$

$$\displaystyle tan(α - β) = \frac{tanα - tanβ}{1 + tanαtanβ} - ⑥$$

便宜常④の公式から証明します。
下図のように単位円上で、動径$OA,OB$の表す角を、それぞれ$α,β$とし、地点$AB$の距離について考えます。 2点$A,B$の距離は、以下にように導かれます。

$AB^2 = (cosβ - cosα)^2 + (sinβ - sinα)^2$
$= (sin^2β + cos^2β) + (sin^2α + cos^2α) -2(cosαcosβ + sinαsinβ)$
$= 2 -2(cosαcosβ + sinαsinβ)$

ここで、三角形$OAB$で余弦定理を用いると

$AB^2 = 1^2 + 1^2 -2・1・1・cos(α - β)$となるので、先ほどの式に代入して整理すると

$2 -2cos(α - β) = 2 - 2(cosαcosβ + sinαsinβ)$
$cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ$ - ④
が成り立ちます。

④で、$β$を$-β$に置き換えてみると

$cos\{α -(-β)\} = cosαcos(-β) + sinαsin(-β)$
$cos(-β) = cosβ$
$sin(-β) = -sinβ$より

$cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ$ - ③

④で$α$を$\dfrac{π}{2} - α$に置き換えて考えます。

$\displaystyle cos\{(\frac{π}{2} - α) - β\} = cos(\frac{π}{2} - α)cosβ + sin(\frac{π}{2} - α)sinβ$

$\displaystyle cos(\dfrac{π}{2} - α) = sinα$
$\displaystyle sin(\dfrac{π}{2} - α) = cosα$より

$\displaystyle cos\{(\frac{π}{2} - α) - β\} = sinαcosβ + cosαsinβ$

また、$\displaystyle cos\{(\frac{π}{2} - α) - β\}$を式として考えると、
$\displaystyle cos\{(\frac{π}{2} - α) - β\} = cos\{(\frac{π}{2} -(α + β)\} = sin(α + β)$から

$sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ$ - ①
が求められます。

①において、$β$を$-β$に置き換えて式変換します。

$sin(-β) = -sinβ$
$cos(-β) = cosβ$より

$sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ$ - ②

⑤の証明に関しては、$\displaystyle tanθ = \frac{sinθ}{cosθ}$の公式を用いて、変換することにより求めることができます。

$\displaystyle tan(α + β) = \frac{sin(α + β)}{cos(α + β)} = \frac{sinαcosβ + cosαsinβ}{cosαcosβ - sinαsinβ}$

ここで、分母・分子を分母の$cosαcosβ$で割ります。

$= \dfrac{\dfrac{sinαcosβ + cosαsinβ}{cosαcosβ}}{1 - \dfrac{sinαsinβ}{cosαcosβ}}$

$\displaystyle = \dfrac{\dfrac{sinα}{cosα} + \dfrac{sinβ}{cosβ}}{1 - \dfrac{sinα}{cosα}・ \dfrac{sinβ}{cosβ}}$
分子は部分分数分解をしています。

よって
$\displaystyle tan(α + β) = \frac{tanα + tanβ}{1 - tanαtanβ}$ - ⑤

⑤において、$β$を$-β$に置き換えると
$tan(-β) = -tanβ$であるから

$\displaystyle tan(α - β) = \frac{tanα - tanβ}{1 + tanαtanβ}$ - ⑥
となります。

$tan$の公式は、$sin$と$cos$の加法定理の公式から簡単に求められるので、
覚える必要があるのは、$sin$と$cos$の公式ですね。

初版:2019/8/1

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