放物線と接線の間の面積を求める公式(3分の1の公式)とその証明方法について

放物線と接線の間の面積を求める公式(3分の1の公式)とその証明方法にまとめます。

下図のように放物線Cの接線を$l$として、$x = α$において接するとき、
$α \leqq x \leqq k$の部分の面積は以下のように求められます。

放物線Cを\(y = ax^2 + bx + c\)とすると

$$\displaystyle \frac{|a|}{3}(k - α)^3$$

\(C:f(x) = ax^2 + bx + c\)
\(l:g(x) = mx + n\)
とすると

\(f(x) = g(x)\)が重解\(x = α\)をもつから、\(a(x - α)^2\)の形に変形できるので、

\(f(x) - g(x) = a(x - α)^2\)

よって、上図の区間\(α \leqq x \leqq k\)の部分の面積Sは

$f(x)$,$g(x)$の上下がわからないので、絶対値をつけて、

\(\displaystyle S = \int_α^k |f(x) - g(x)|dx\)

\(\displaystyle S = \int_α^k |a|(x - α)^2dx\)

\(\displaystyle S = |a|\left[ \frac{(x - α)^3}{3} \right]_α^k\)

\(\displaystyle S = \frac{|a|}{3}(k - α)^3\)

初版:2021/7/30

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