放物線とその共通接線で囲まれた部分の面積を求める公式とその証明方法について

放物線とその共通接線で囲まれた部分の面積を求める公式とその証明方法についてまとめます。

下図のように\(x^2\)の係数が\(a( \ne 0) \)で等しい放物線C1,C2について、
C1とC2の共通接線をl、それぞれの接点のx座標をα,β(α < β)とする。

このとき、C1とC2の交点Pの座標は\(\displaystyle \frac{α + β}{2}\)

また、囲まれた面積Sは

$$\displaystyle S = \frac{|a|}{12}(β - α)^3$$

\(C1:y = ax^2 + bx + c,C2:y = ax^2 + dx + e(b \neq d)\)とすると、
\(x = α\)における接線の方程式は

\(y = (2aα + b)x - aα^2 + c\)

同様に、\(x = β\)における接線の方程式は

\(y = (2αβ + d)x - αβ^2 + e\)

直線lはこれらが一致する場合だから

\(2aα + b = 2aβ + d\) - ①かつ

\(-aα^2 + c = -aβ^2 + e\) - ②

①を整理して、

\(b - d = 2a(β - α)\) - ①'

②を整理して

\(e - c = a(β + α)(β - α)\) - ②'

ここで、交点pのx座標は

\(ax^2 + bx + c = ax^2 + dx + e\)の解

\(b \neq d\)であるから

\(\displaystyle x = \frac{e - c}{b - d}\) - ③

③に①'②'を代入して

\(\displaystyle x = \frac{a(β + α)(β - α)}{2a(β - α)} \)

\(\displaystyle x = \frac{α + β}{2}\)

よって、面積は、放物線と2本の接戦で囲まれた部分の面積を求める公式と同じく、\(\displaystyle \frac{1}{3}\)の公式を使って、

\(\displaystyle S = \frac{|a|}{3}(\frac{α + β}{2} - α)^3 + \frac{|a|}{3}(β - \frac{α + β}{2})^3\)

\(S = \displaystyle \frac{|a|}{12}(β - α)^3\)

初版:2021/8/2

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