ベクトルの内分点の公式とその証明方法について

ベクトルの内分点の公式とその証明方法についてまとめてみます。

まずは、ベクトルの内分点について。まとめます。

まず、ベクトルの内分点について、解説します。
以下の図を見てください。

図では、点Pが点ABを2:3に分割しています。
これをベクトルにして着目すると、OPベクトルはABベクトルを2:3に分割している事になります。
ABベクトルの内部をOPベクトルが分割しているので、内分と言います。

つまり、OPベクトルはABベクトルを2:3に内分していると言えます。

ベクトルの内分点の公式を使うことで、図のOPベクトルをOAベクトルとOBベクトルを使って簡単に求めることができます。
内分点の公式を一般化すると以下のようになります。

ベクトルOPがベクトルABをx:yに内分するとき

$$\overrightarrow{OP} = \frac {y \overrightarrow{OA} + x \overrightarrow{OB}}{x + y}$$

と表すことができます。

ベクトルの内分点の公式の証明をしてみます。

まず、下図のようにOPベクトルは、OAベクトルとAPベクトルを加算したものと等しいので、

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}$

APベクトルは$\dfrac{2}{5} \overrightarrow{AB}$に等しいので、

$\overrightarrow{AP} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}$

また、ABベクトルは

$\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$

とも表すことができます。

これらの条件をまとめると

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} - \dfrac{2}{5}\overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{OB}$

となり証明することができました。

初版:2019/3/2

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