対数の底の変換公式とその証明について

$a,b,c$は正の数で,$a \ne 1,b \ne 1,c \ne 1$とします。

$$\displaystyle log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}$$

$$\displaystyle log_{a}b = \dfrac{1}{log_{b}a} - ②$$

$log_{a}b = p$とおくと、
$a^p = b$

両辺の$c$を底とする対数をとります

$log_{c}a^p = log_{c}b$

対数の性質③より

$plog_{c}a = log_{c}b$

$a \ne 1$だから、$log_{c}a \ne 0$

$log_{c}a$で両辺を割って

$\displaystyle p = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}$よって、

$\displaystyle log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

となり、底の変換公式を証明することができました。

底の変換公式を使用します。

$\dfrac{1}{log_{b}a} = \dfrac{1}{\dfrac{log_{a}a}{log_{a}b}}$

$= \dfrac{1}{\dfrac{1}{log_{a}b}} = log_{a}b$

$\displaystyle log_{a}b = \dfrac{1}{log_{b}a}$だとすぐに認識できるようにしましょう。

初版:2023/11/4