等差数列についてと等差数列の和の求め方について

数列についての基礎的な確認を。
まずは、数列とはなにかについて書きます。

1,2,3,4,5

のように、ある数から初めて、2番目,3番目、・・・と順番にならべたものを数列という

また、数列をなす各数を項という(上例でいうと1や2など)

一般的に数列を表現するには、

a1,a2,a3,・・・,an

のように書き、{an}と表す

また、数列のn番目の項を第n項といい、
第1項目つまりは、a1を数列の初項という。
また、anを一般項という。

1,3,5,7,9

のように項の数が有限である数列のことを有限数列という

また、項の数を項数(上例では5)、最後の項(上例では9)を末項という

数列とはなにかを知ったところで、等差数列に関して書きます。

数列{an}において、各項が直前の項に定数dを足したものに等しい時、この数列を等差数列といいます。

例をあげると

1,3,5,7,9

この数列は、1に2を足すと3、3に2を足すと5になるので、等差数列になります。
この一定の差2を等差数列の公差といいます。

一般項$a_n$はaのn項目が初項aにdを(n - 1)回加えたものであるので、

$$a_n = a + (n - 1)d$$

とすることができます。

有名な話ですが、等差数列の和の公式を求めてみます。
等差数列には以下のような性質があります。

1,3,5,7,9

この数列を逆さにして各々の項の和を求めると、

  1,3,5,7,9
+ 9,7,5,3,1
-----------
10 10 10 10 10
      

となります。

この式から分かるように、
等差数列の和は、初項と末項を足したものに
項数 ÷ 2をかければ求められることがわかります。

これを一般式にすると

$$Sn = {1 \over 2}n(a + l)$$

また末項lは

$a + (n - 1)d$と置き換えられるので、

$$Sn = {1 \over 2} \{2a + (n - 1)d \}$$

とも表せます。

初版:2018/7/23

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