漸化式の定義について

数列で使われる漸化式ですが、その定義が個人的に曖昧だったので、
まとめたいと思います。

数列${a_n}$において、その一般項${a_n}$がnの式で与えられる代わりに、

$a_1 = 2$ - ①

$a_{n + 1} = 2a_n + 3(n = 1,2,3・・・)$ - ②

のような2条件が与えられているとすると

①は数列の出発点で、②は隣り合う2項間の関係式なので、
この関係を利用すると

n = 1として②より
$a_2 = 2a_1 + 3$

①を利用して

$a_2 = 2 \cdot 2 + 3 = 7$

n = 2として②より
$a_3 = 2a_2 + 3$

n = 1の時の結果を利用して

$a_3 = 2 \cdot 7 + 3 = 17$

n = 3として②より
$a_4 = 2a_3 + 3 = 2 \cdot 17 + 3 = 37$

となり、$a_1$から$a_2$、$a_2$から$a_3$、・・・と各項の値が順にただ一通りに決まり、
数列${a_n}$が定まります。

②のように、数列において前の項から次の項を決めるための関係式を漸化式といいます。

等差数列において、各項はその前の項に一定の数(公差)を足すと得られるので、
初項a,公差dの等差数列${a_n}$の漸化式は、次のようになります。

$a_1 = a,a_{n + 1} = a_n + d$

等比数列において、各項はその前の項に一定の数(公比)をかけると得られるので、
初項a、公比rの等比数列${a_n}$の漸化式は次のようになります。

$a_1 = a,a_{n + 1} = ra_n$

初版:2019/9/30