階差数列型の漸化式の解法

漸化式のタイプの一つである、
階差数列型の漸化式の解法をまとめます。

階差数列型の漸化式は以下の形で定義されます。

$$ \displaystyle an_{+1} = a_n + f(n) - ①$$

①から一般項$an$をもとめるには

$$\displaystyle an = a_1 + \sum_{ k = 1 }^{ n - 1 } f(k)$$

$a_1 = 7, an_{+1} = an + 2n$の数列を例に考えてみます。

n = 1のとき
$a_2 = a_1 + 2 \times 1 = 9$

n = 2のとき
$a_3 = a_2 + 2 \times 2 = 13$

n = 3のとき
$a_4 = a_3 + 2 \times 3 = 19$

n = 4のとき
$a_5 = a_4 + 2 \times 4 = 27$

$a_1 = 7,a_2 = 9,a_3 = 13,a_4 = 19,a_5 = 27$
これらの差を取ると

2,4,6,8

と初項2、公差2の等差数列になっていることから、
$an$は階差数列になっていることがわかります。

よって、$an$は

$a_n = a_1 + {2 \times 1 + 2 \times 2 + ... + 2 \times (n - 1) }$

シグマを使って表すと

$\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{ k = 1 }^{ n - 1 } 2k$

実際に計算すると

$\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{ k = 1 }^{ n - 1 } 2k$

$a_n = 7 + 2 \times \dfrac{n(n - 1)}{2}$

$a_n = n^2 - n + 7$

階差数列の時と同様に、
これらは、$n \geqq 2$でのみ成り立つ数列なので、$a_1 = 7$が成り立つか確認する必要があります。

初版:2022/12/31

Tweet