3項間漸化式の解法について

$a_{n + 2} + pa_{n + 1} + qa_n = 0$

型で表される3項間漸化式の解法をまとめます。

式を以下のように変更します。

$a_{n + 2} - αa_{n + 1} = β(a_{n+1} - αan)$

このとき、α,βは$x^2 + px + q = 0$の解

このことが成り立つことを確かめてみます。

$a_{n + 2} + pa_{n + 1} +qa_n = 0 - ①$
$a_{n + 2} - αa_{n + 1} = β(a_{n+1} - αan)$ - ②

と変形できたとすると

②を展開して

$a_{n + 2} - (α+β)a_{n + 1} + αβa_n = 0$ - ②'

①と②'を比較して

$-(α+β) = p$
$a + β = -p$ - ③
$αβ = q$ - ③'

α,βを2解にもつ2次方程式は、
$(x - α)(x - β) = 0$

展開すると、
$x^2 - (α+β)x + αβ = 0$ - ④

④に③と③'を代入する

$x^2 -(-p)x + q = 0$

$x^2 + px + q = 0$ - ⑤

⑤を解くと、αとβが求められるので、 このαとβを使って、漸化式型の解法にもっていきます。

初版:2021/4/28

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