三角形の重心の位置ベクトルの公式とその証明方法について

三角形の重心の位置ベクトルの公式とその証明方法についてまとめます。
まずは、三角形の重心の位置ベクトルの公式について書きます。

$3点A(\vec{a}),B(\vec{b}),C(\vec{c})$を頂点とする三角形の重心の位置ベクトルは

$$\displaystyle \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}} {3}$$

証明するために、重心が中線を2:1内分する性質を利用します。
下図をみてください。

3点$A(\vec{a}),B(\vec{b}),C(\vec{c})$を頂点とする三角形ABCで、重心を$G(\vec{g})$
辺BCの中点を$M(\vec{m})$としています。

重心Gは中線AMを2:1に内分するので、内分点の公式を利用して、
gベクトルを求めます。

$\vec{g} = \displaystyle \frac{1・\vec{a} + 2 \vec{m}}{2 + 1}・①$

また、点Mが中点であることから、mベクトルを求めます。

$\vec{m} = \displaystyle \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}・②$

②を整理して、
$2 \vec{m} = \vec{b} + \vec{c}$

これを①に代入して

$\displaystyle \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}} {3}$

という風に証明することができます。

初版:2019/3/25

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