ベクトルにて三角形の面積を内積を使って求める方法

ベクトルにて、三角形の面積を内積を使って求める公式の証明についてまとめたいと思います。

三角形のつながった二つの辺とその辺辺の内積がわかっている場合、三角形の面積を以下の公式で求めることができます。
ここでは、三角形をABCとし、2つの辺辺をAB,ACとします。

$$S = \frac{ 1 }{ 2 } \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AC}|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$$

sinを使用して三角形の面積を求める公式と、ベクトルの内積を求める公式を組み合わせることで、
公式が求まります。

sinを使って三角形の面積を求める公式は、

$\displaystyle S = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC$

これをベクトルに置き換えます。
必要なものは長さになるので、絶対値をつけます。

$\displaystyle S = \frac{ 1 }{ 2 } |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \sin \angle BAC$

ベクトルの内積の公式を利用するために、ルートをつけて中身を二乗します。

$\displaystyle S = \frac{ 1 }{ 2 } \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AC}|^2 \sin^2 \angle BAC}$

三角比の公式
$\displaystyle sin^2θ + cos^2θ = 1$
を利用します。

$\displaystyle S = \frac{ 1 }{ 2 } \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AC}|^2 (1 - cos^2 \angle BAC)}$

展開して

$\displaystyle S = \frac{ 1 }{ 2 } \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AC}|^2 cos^2 \angle BAC)}$

ここで、ベクトルの内積の公式
$\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot cosθ$
を代入します。

$\displaystyle S = \frac{ 1 }{ 2 } \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AC}|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$

となり証明できました。

先の$ \overrightarrow{AB} = (a_1,a_2),\overrightarrow{AC} = (b_1,b_2)$と成分表示できるとします。

$ {| \overrightarrow{AB}|^2} = {a_1}^2 + {a_2}^2,{| \overrightarrow{AC}|^2} = {b_1}^2 + {b_2}^2$
$ (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2 = (a_1b_1 + a_2b_2)^2$より

${| \overrightarrow{AB}|^2} {| \overrightarrow{AC}|^2} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2 = ({a_1}^2 + {a_2}^2)({b_1}^2 + {b_2}^2) - (a_1b_1 + a_2b_2)^2$
$ = {a_1}^2 {b_2}^2 + {a_2}^2 {b_1}^2 - 2a_1b_1a_2b_2 $
$ = ({a_1} {b_2} + {a_2} {b_1})^2$

上記の公式を利用して

$\displaystyle S = \dfrac{1}{2} \sqrt{(a_1b_2 - a_2b_1)^2}$

ルートを外すと

$$\displaystyle S = \dfrac{1}{2} |a_1b_2 - a_2b_1|$$

初版:2019/4/4

更新
2022/10/2(説明の最後の式の2乗が抜けていたので修正)
2024/5/8(成分表示も追加)

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