三角関数の積と和の変換公式とその証明方法について

三角関数の積と和の変換公式とその証明方法についてまとめます。

公式の前に、公式の導き方について書きます。
正弦と余弦の加法定理において、両辺の和、差を取ることによって次のように導かれます。

便宜上、以下のように加法定理に番号を振ります。

$sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ$ - ①
$sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ$ - ②
$cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ$ - ③
$cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ$ - ④

① + ②から $sin(α + β) + sin(α - β) = 2sinαcosβ$ - ①'

① - ②から $sin(α + β) - sin(α - β) = 2cosαcsinβ$ - ②'

③ + ④から $cos(α + β) + cos(α - β) = 2cosαcosβ$ - ③'

③ - ④から $cos(α + β) - cos(α - β) = -2sinαsinβ$ - ④'

この①'から④'の等式において、右辺から左辺をみると、積を和の形に直す公式となり、
左辺から右辺を見ると、和を積の形に直す公式になります。

公式の使い勝手を良くするために、積から和への変換公式は、①'から④'の左辺と右辺を入れ替えて、
両辺を2で割った形で表します。

和から積への変換公式は、 $α + β = A$,$α - β = B$とおくと、$α = \dfrac{A + B}{2}$,$β = \dfrac{A - B}{2}$
となることを利用して置き換えます。

では、以下に変換公式の一覧を書きます。

$$sinαcosβ = \frac{1}{2} \{sin(α + β) + sin(α - β)\}$$

$$cosαsinβ = \frac{1}{2} \{sin(α + β) - sin(α - β)\}$$

$$cosαcosβ = \frac{1}{2} \{cos(α + β) + cos(α - β)\}$$

$$sinαsinβ = -\frac{1}{2} \{cos(α + β) - cos(α - β)\}$$

$$sinA + sinB = 2sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$$

$$sinA - sinB = 2cos \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$$

$$cosA + cosB = 2cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$$

$$cosA - cosB = -2sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$$

初版:2019/8/7

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