2曲線で囲まれた面積の公式とその証明方法について

2曲線で囲まれた面積の公式とその証明方法について、まとめたいと思います。
まず、その公式について書きます。

区間$a \leqq x \leqq b$で$f(x) \geqq g(x)$のとき、
2曲線、$y = f(x)$,$y = g(x)$および2直線$x = a$,$x = b$で囲まれた部分の面積$S$は

$$\displaystyle S = \int_a^b \{ f(x) - g(x) \}dx$$

2曲線と囲まれた面積が、$x$軸の上にある場合。
下図のケースを考えます。

求める面積を$S$とすると、面積$S$は曲線$f(x)$と$x$軸との面積から、曲線$g(x)$と$x$軸の面積を引いたものと同等になります。

よって、求める面積は

$\displaystyle S = \int_a^b f(x) dx - \int_a^b g(x) dx$
$\displaystyle = \int_a^b \{f(x) - g(x)\} dx$

図で考えると、明白になります。

求める面積全体が、$x$軸の上側にないとき、全体が$x$軸の上側にあるように、
下図のように$y$軸方向に一定量$c$だけ並行移動します。

$\displaystyle S = \int_a^b \{f(x) + c \}dx - \int_a^b \{g(x) + c \}dx$

$\displaystyle \int_a^b\left[\{f(x) + c \} - \{g(x) + c \} \right] dx$

よって、

$\displaystyle = \int_a^b \{f(x) - g(x)\} dx$

初版:2019/8/23

Tweet