共役な複素数の絶対値の性質

複素数$α = a + bi$とします。

$\sqrt{α \bar{α}} = \sqrt{a^2 + b^2}$を$α$の絶対値といい、
記号で$|α|$または$|a + bi|$と表す。

複素数の絶対値について以下の性質が成り立ちます。

$|α| = 0 \Leftrightarrow α = 0$ - ①

$|α| = |-α| = |\bar{α}|,α\bar{α} = |α|^2$ - ②

$|αβ| = |α||β|$ - ③

$\displaystyle \left|\frac{α}{β} \right| = \frac{|α|}{|β|}$ - ④

$-α = -a - bi$
$\bar{α} = a - bi$

定義より

$|α| = \sqrt{a^2 + b^2}$
$|-α| = \sqrt{(-a)^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$
$|\bar{α}| = \sqrt{(a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

よって、

$|α| = |-α| = |\bar{α}|$

また、

$α\bar{α} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$
つまり

$α\bar{α} = |α|^2$

初版:2022/1/18