複素数平面上で四角形が円に内接するための条件

複素数平面上で異なる4点A(α),B(β),C(γ),D(δ)のうち、
どの3点も一直線上にないとき、4点A,B,C,Dが一つの円周上にあるための条件は

$$\displaystyle \frac{β - γ}{α - γ} \div \frac{β - δ}{α - δ}が実数$$

下図元にを考えます。

円周角の定理より

$\displaystyle arg \frac{β - γ}{α - γ} = arg \frac{β - δ}{α - δ}$

つまり、
$\displaystyle arg \frac{β - γ}{α - γ} - arg \frac{β - δ}{α - δ} = 0$

$\displaystyle arg(\frac{β - γ}{α - γ} \div \frac{β - δ}{α - δ}) = 0$

よって、
$\displaystyle \frac{β - γ}{α - γ} \div \frac{β - δ}{α - δ}$は正の実数となる

1.と同様に下図を考え導くことができます。

下図を元に2つのケースを考えます。

円に内接する四角形の対角の和はπであるから、

$\angle ACB + \angle BDA = π$

よって、
$\displaystyle arg \frac{β - γ}{α - γ} + arg \frac{α - δ}{β - δ} = \pm π$

$\displaystyle arg( \frac{β - γ}{α - γ} \times \frac{α - δ}{β - δ}) = \pm π$

よって、
$\displaystyle arg( \frac{β - γ}{α - γ} \div \frac{β - δ}{α - δ} )= \pm π$

以上より、
$\displaystyle \frac{β - γ}{α - γ} \div \frac{β - δ}{α - δ}$は負の実数になる。

1. ~ 3.より、

4点A,B,C,Dが一つの円周上にある $\displaystyle \Rightarrow \frac{β - γ}{α - γ} \div \frac{β - δ}{α - δ}$が実数

が言えます。

初版:2022/1/27

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