曲線の漸近線の求め方について

曲線の漸近線の求め方についてまとめます。

$\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} = a$または$\displaystyle \lim\limits_{x \to - \infty} = a$が成り立つ時

漸近線は直線$y = a$

これは、図を考えるとわかります

$\displaystyle \lim\limits_{x \to b + 0} f(x) = \infty$,$\displaystyle \lim\limits_{x \to b + 0} f(x) = - \infty$
$\displaystyle \lim\limits_{x \to b - 0} f(x) = \infty$,$\displaystyle \lim\limits_{x \to b - 0} f(x) = - \infty$

これらいずれかが成り立てば、漸近線は直線$x = b$

これも図をイメージするとわかります。

$\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} \{f(x) - (ax + b) \} = 0$または、

$\displaystyle \lim\limits_{x \to - \infty} \{f(x) - (ax + b) \} = 0$が成り立つ時

漸近線は、直線$y = ax + b$

漸近線は、曲線上の点P(x,f(x))が原点から無限に遠ざかるとき、
Pからその直線の距離PHが限りなく小さくなる直線なので、

直線$y = ax$が曲線y = f(x)の漸近線だとすると、
Pからx軸に下ろした垂線と、この直線との交点を$N(x,y_1)$として、

$PN = |f(x) - y_1| = |f(x) - (ax + b)|$

PH:PNはPHNが作る三角形の相似だと考えて、その相似比を考えると一定なので

$PH \to 0$のとき$PN \to 0(x \to \infty または x \to - \infty)$となり③が成り立ちます

初版:2022/3/3