曲線の漸近線の求め方について

曲線の漸近線の求め方についてまとめます。

x軸に並行な漸近線

limまたは\displaystyle \lim\limits_{x \to - \infty} = aが成り立つ時

漸近線は直線y = a

これは、図を考えるとわかります

y軸に並行な漸近線

\displaystyle \lim\limits_{x \to b + 0} f(x) = \infty,\displaystyle \lim\limits_{x \to b + 0} f(x) = - \infty
\displaystyle \lim\limits_{x \to b - 0} f(x) = \infty,\displaystyle \lim\limits_{x \to b - 0} f(x) = - \infty

これらいずれかが成り立てば、漸近線は直線x = b

これも図をイメージするとわかります。

その他の漸近線

\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} \{f(x) - (ax + b) \} = 0または、

\displaystyle \lim\limits_{x \to - \infty} \{f(x) - (ax + b) \} = 0が成り立つ時

漸近線は、直線y = ax + b

その他の漸近線の証明

漸近線は、曲線上の点P(x,f(x))が原点から無限に遠ざかるとき、
Pからその直線の距離PHが限りなく小さくなる直線なので、

直線y = axが曲線y = f(x)の漸近線だとすると、
Pからx軸に下ろした垂線と、この直線との交点をN(x,y_1)として、

PN = |f(x) - y_1| = |f(x) - (ax + b)|

PH:PNはPHNが作る三角形の相似だと考えて、その相似比を考えると一定なので

PH \to 0のときPN \to 0(x \to \infty または x \to - \infty)となり③が成り立ちます

初版:2022/3/3