曲線の漸近線を求める公式とその証明

曲線の漸近線を求める公式について、まとめます。

曲線を$f(x)$漸近線を直線$y = ax + b$とすると、
定数aとbは以下のように求められます。

$\displaystyle a = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$

$\displaystyle b = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \{f(x) - ax \}$

$\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} \left \lbrace f(x) - (ax + b) \right \rbrace = 0$のとき

$\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} \left \lbrace f(x) - ax \right \rbrace = b$

また、

ここで、$\displaystyle \frac{1}{x} \to +0,f(x) - ax \to b$より

$\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} \left \lbrace \frac{f(x)}{x} - a \right \rbrace = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} \{f(x) - ax \} = 0$

よって、

$\displaystyle a = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$

$\displaystyle \lim\limits_{x \to - \infty} \left \lbrace f(x) - (ax + b) \right \rbrace = 0$の場合も同様です。

初版:2022/3/3
更新:2022/4/6(説明の足りない部分の修正)

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