平均値の定理とその証明

平均値の定理は、ロルの定理から区間の端の値、
f(a)=f(b)等しくない場合を考えたものになります
つまり、定義は以下のようになります。

平均値の定理

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば、

f(c)=f(b)f(a)ba=0,a<c<b

を満たす実数cが存在する

つまりは、両端の点を結んだ傾きが、ab間の点cに存在するというものです。

平均値の証明

ロルの定理が用いることができるように、F(a)=F(b)となるような関数F(x)f(x)を利用して作ります。

f(b)f(a)ba=kとし、

F(x)=f(x)f(a)k(xa)とすると

F(x)=f(x)k

関数fにa,bを代入すると

F(a)=F(b)

よって、ロルの条件を満たすので、
F(c)=0つまりf(c)k=0

変形すると

f(c)=k=f(b)f(a)ba

を満たす実数cが少なくとも一つ存在する

初版:2022/3/2