平均値の定理とその証明
平均値の定理は、ロルの定理から区間の端の値、
f(a)=f(b)等しくない場合を考えたものになります
つまり、定義は以下のようになります。
平均値の定理
関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば、
f′(c)=f(b)−f(a)b−a=0,a<c<b
を満たす実数cが存在する
つまりは、両端の点を結んだ傾きが、ab間の点cに存在するというものです。
平均値の証明
ロルの定理が用いることができるように、F(a)=F(b)となるような関数F(x)をf(x)を利用して作ります。
f(b)−f(a)b−a=kとし、
F(x)=f(x)−f(a)−k(x−a)とすると
F′(x)=f′(x)−k
関数fにa,bを代入すると
F(a)=F(b)
よって、ロルの条件を満たすので、
F′(c)=0つまりf′(c)−k=0
変形すると
f′(c)=k=f(b)−f(a)b−a
を満たす実数cが少なくとも一つ存在する
初版:2022/3/2