合成関数の微分の公式とその証明

合成関数の微分の公式とその証明方法についてまとめます。

関数$y = f(u),u = g(x)$がともに微分可能であるとき、
これらの合成関数$y = f(g(x)$も微分可能で以下の公式が成り立ちます。

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ - ①

①の左辺に$y = f(g(x))$を代入、右辺の各々をdu,dxで微分すると

$\displaystyle \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ - ②

uの関数$y = f(u)$
xの関数$u = g(x)$がともに微分可能な時、

xの増分$\Delta x$に対するuの増分を$\Delta u$

uの増分$\Delta u$に対するyの増分を$\Delta y$

とすると

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$

g(x)は連続なので、

$\Delta x \rightarrow 0$のとき$\Delta u \rightarrow 0$

より

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left \lbrace \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right \rbrace$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta u \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

初版:2022/2/23

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