ロルの定理とその証明
ロルの定理は以下のようになります。
ロルの定理
関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能で、
f(a)=f(b)なら
f′(c)=0,a<c<b
を満たす実数cが存在する
ロルの定理の証明
f(x)は閉区間[a,b]で連続であるから、この区間で最大値Mと最小値mを持ちます。
M,mの少なくとも一方はf(a) [= f(b)]と異なります。
M≠f(a)のとき、M=f(c)とすると、
f(a)=f(b)よりc≠a,c≠bだから
a<c<b
また、|Δx|が十分小さい時
f(c)≧f(c+Δx)だから
limΔx→+0f(c+Δx)−f(c)Δx≦0(Δx>0),
limΔx→−0f(c+Δx)−f(c)Δx≧0(Δx<0)
つまり、
f′(c)≦0かつf′(c)≧0
したがって
f′(c)=0
m≠f(a)のときも同様にm=f(c)とすると
f′(c)=0,a<c<bとなります。
初版:2022/3/1