ロルの定理とその証明

ロルの定理は以下のようになります。

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能で、
$f(a) = f(b)$なら

$f'(c) = 0,a < c < b$

を満たす実数cが存在する

f(x)は閉区間[a,b]で連続であるから、この区間で最大値Mと最小値mを持ちます。

M,mの少なくとも一方はf(a) [= f(b)]と異なります。

$M \ne f(a)$のとき、$M = f(c)$とすると、
$f(a) = f(b)$より$c \ne a,c \ne b$だから

$a < c < b$

また、$|\Delta x|$が十分小さい時

$f(c) \geqq f(c + \Delta x)$だから

$\displaystyle \lim\limits_{\Delta x \to +0} \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{\Delta x} \leqq 0 (\Delta x > 0)$,

$\displaystyle \lim\limits_{\Delta x \to -0} \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{\Delta x} \geqq 0 (\Delta x < 0)$

つまり、

$f'(c) \leqq 0$かつ$f'(c) \geqq 0$

したがって

$f'(c) = 0$

$m \ne f(a)$のときも同様に$m = f(c)$とすると

$f'(c) = 0,a < c < b$となります。

初版:2022/3/1