ロルの定理とその証明

ロルの定理は以下のようになります。

ロルの定理

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能で、
f(a)=f(b)なら

f(c)=0,a<c<b

を満たす実数cが存在する

ロルの定理の証明

f(x)は閉区間[a,b]で連続であるから、この区間で最大値Mと最小値mを持ちます。

M,mの少なくとも一方はf(a) [= f(b)]と異なります。

Mf(a)のとき、M=f(c)とすると、
f(a)=f(b)よりca,cbだから

a<c<b

また、|Δx|が十分小さい時

f(c)f(c+Δx)だから

limΔx+0f(c+Δx)f(c)Δx0(Δx>0),

limΔx0f(c+Δx)f(c)Δx0(Δx<0)

つまり、

f(c)0かつf(c)0

したがって

f(c)=0

mf(a)のときも同様にm=f(c)とすると

f(c)=0,a<c<bとなります。

初版:2022/3/1