sin,cos,tanの関数の微分の公式とその証明方法

xをラジアンとして、
sinx,cosx,tanxの導関数の公式とその証明についてまとめます。

$(sinx)' = cosx$ - ①

$(cosx)' = -sinx$ - ②

$(tanx)' = \dfrac{1}{cos^2x}$ - ③

$\displaystyle (sinx)' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{sin(x + h) - sinx}{h}$

加法定理を利用します

$\displaystyle = \lim\limits_{h \to 0} \frac{sinxcosh + cosxsinh - sinx}{h}$

$\displaystyle = \lim\limits_{h \to 0} \frac{cosxsinh -sinx(1 - cosh)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \Biggl( cosx \cdot \frac{sinh}{h} - sinx \cdot \frac{1 - cosh}{h} \Biggl)$

ここで、$\displaystyle \lim\limits_{h \to 0} \frac{1 - cosh}{h}$を考え、分母、分子に$(1 + cosh)$をかけます

$\displaystyle \lim\limits_{h \to 0} \frac{1 - cosh}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{sin^2h}{h(1 + cosh)} = \lim\limits_{h \to 0} \Biggl( \frac{sinh}{h} \cdot \frac{sinh}{1 + cosh} \Biggl)$

$\displaystyle \lim\limits_{h \to 0} \frac{sinx}{x} = 1$より

$\displaystyle = 1 \cdot \frac{0}{2} = 0$

これを代入すると

$\displaystyle (sinx)' = (cosx) \cdot 1 - (sinx) \cdot 0 = cosx$

$\displaystyle (cosx)' = \left \lbrace sin(x + \frac{π}{2}) \right \rbrace ' = cos \Biggl( x + \frac{π}{2} \Biggl) \cdot \Biggl( x + \frac{π}{2} \Biggl)$

$\displaystyle (cosx)' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{cos(x + h) - cosx}{h}$

和 → 積の公式より

$\displaystyle = \lim\limits_{h \to 0} \frac{-2sin \frac{2x + h}{2} sin \frac{h}{2}}{h}$

$\displaystyle = \lim\limits_{h \to 0} \frac{-sin \frac{2x + h}{2} sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}$

$\displaystyle = \lim\limits_{h \to 0} \left \lbrace -sin(x + \frac{h}{2}) \cdot \frac{sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \right \rbrace$

$\displaystyle \lim\limits_{h \to 0} \frac{sinx}{x} = 1$より

$\displaystyle = -sinx$

$\displaystyle (tanx)' = \Biggl( \frac{sinx}{cos} \Biggl)'$

ここで、商の微分の公式を使います

$\displaystyle \frac{(sinx)'cosx - sinx(cosx)'}{cos^2x} = \frac{cos^2x + sin^2x}{cos^2x} = \frac{1}{cos^2x}$

sinの微分はcosと同様、和 → 積でも求められます

初版:2022/2/26

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