曲線の回転移動の公式とその証明

曲線C:F(x,y) = 0を原点周りに角θだけ回転して得られる曲線は

$F(xcosθ + ysinθ,-xsinθ + ycosθ) = 0$

曲線C:F(x,y) = 0を原点周りに角θだけ回転して得られる曲線をC'とします。

また、この回転によってC'上の点P(x,y)に移されるC上の点をQ(X,Y)とする。

複素数平面上では、点X + Yiは点x + yiを原点周りに-θだけ回転した点である(複素数平面の回転を参照!)といえるので、

$\displaystyle X + Yi = (x + yi)\{cos(-θ) + isin(-θ)\} = (x + yi)(cosθ - isinθ)$

$\displaystyle X + Yi = (xcosθ + ysinθ) + (-xsinθ + ycosθ)i$

よって、

$X = xcosθ + ysinθ,Y = -xsinθ + ycosθ$

点QはC上にあるから

$F(X,Y) = 0$

$F(xcosθ + ysinθ,-xsinθ + ycosθ) = 0$

が曲線C'の方程式になります。

初版:2022/2/3