楕円と円の関係について

楕円と円の方程式を比較して、楕円と円の関係を定義します

円:$x^2 + y^2 = a^2$ - ①

楕円:$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ - ②
と置きます。

①より、
$y = \pm \sqrt{a^2 - x^2}$

②より、
$\displaystyle y = \pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$

①②を考えると、
円①を$\displaystyle \frac{b}{a}$倍に拡大または、縮小したものが楕円②であるということがいえます。

また、①のような円を楕円の補助円といいます。

円①の面積は$πa^2$だから、
楕円②の面積は、$\displaystyle πa^2 \times \frac{b}{a} = πab$

円:$x^2 + y^2 = a^2$は、
楕円:$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$において、 a = bとすると、楕円は

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$

両辺に$a^2$をかけると、①の式になるので、
a = bの場合、楕円は円になるといえます。

この場合、焦点は2つとも原点になるので、一般に楕円の2つの焦点が一致する場合円になるといえます。

初版:2022/2/1

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