放物線の方程式の性質と標準形

平面上で、定点Fと、Fを通らない定直線からの距離が等しいPの軌跡を放物線という。

点Fをその焦点、直線$l$を準線という。

下図のように点$F(p,0)(p \ne 0)$を焦点とし、直線$l:x = -p$を準線とする
放物線上の点を$P(x,y)$とし、$P$から$l$に下ろした垂線を$PH$とする。

$PF = PH$だから

$\displaystyle \sqrt{(x - p)^2 + y^2} = |x -(-p)|$

両辺を二乗して

$\displaystyle (x - p)^2 + y^2 = (x + p)^2$

整理すると

$\displaystyle y^2 = 4px$ - ①

この式を放物線の標準形といいます。

放物線の焦点を通り、準線に垂直な直線を、放物線の軸といい、軸と放物線の交点を、放物線の頂点といいます。

標準形で示される、放物線の特徴は

1.頂点は原点、焦点は点$(p,0)$,準線は直線$x = -p$

2.軸は$x$軸$(y = 0)$で、放物線は軸に関して対象になる。

点$F(0,p)(p \ne 0)$を焦点とし、直線$y = -p$を準線とする放物線の方程式は、上記と同様に処理して、

$x^2 = 4py$

この放物線は直線$y = x$に関して①と対象で、軸は$y$軸$(x = 0)$,頂点は原点になる。

方部線$y = ax^2$は$\displaystyle x^2 = 4 \cdot \frac{1}{4a}y$と変形されるから、

その焦点は点$\displaystyle (0,\frac{1}{4a})$,準線は直線$\displaystyle y = - \frac{1}{4a}$となる。

初版:2022/1/28