合成関数について

2つの関数を$y = f(x),z = g(y)$として、
$f(x)$の値域が$g(y)$の定義域に含まれているとき、
新しい関数、$z = g(f(x))$が考えられ、
この関数を$f(x)$と$g(y)$の合成関数といい、
$g(f(x))$を

$(g \circ f)(x)$と書きます。

合成関数は以下の結合法則が成り立ちます

$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$

関数:$f(x) = u,g(u) = v,h(v) = w$とします。

$(h \circ (g \circ f))(x) = h((g \circ f)(x)) = h(g(f(x))) = h(g(u)) = h(v) = w$

$((h \circ g) \circ f)(x) = (h \circ g)(f(x)) = (h \circ g)(u) = h(g(u)) = h(v) = w$

よって、

$(h \circ (g \circ f))(x) = ((h \circ g) \circ f)(x)$

初版:2022/2/13