1a2+x2型の積分
有名な置換積分の一つである 1a2+x2型の積分に方法に関して、解説します。
この場合、x=atanθ(−12<θ<12)と置くことで計算がうまくいきます。
実例で計算過程を見ていきましょう。
∫1011+x2
この形は、1a2+x2に当てはまるので、x=atanθと置きましょう。
x=1⋅tanθ(−12<θ<12)−①と置く、
まず、分母
1+x2
を置き換えると
1+x2=1+tan2θ=1cos2θ
また①より、両辺をθで微分して
dxdθ=1cos2θ
dx=1cos2θdθ
また、①よりxとθの対応表は
x|0→1
θ|0→π4
これらを基本式に当てはめて
∫1011+x2=∫π40cos2θ⋅1cos2θdθ=∫π401dθ =[θ]π40=π4
このように分母がうまく消えるので、計算が楽になります。
初版:2023/5/12
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