1a2+x2型の積分

有名な置換積分の一つである 1a2+x2型の積分に方法に関して、解説します。

この場合、x=atanθ(12<θ<12)と置くことで計算がうまくいきます。
実例で計算過程を見ていきましょう。

1011+x2

この形は、1a2+x2に当てはまるので、x=atanθと置きましょう。

x=1tanθ(12<θ<12)と置く、

まず、分母
1+x2
を置き換えると

1+x2=1+tan2θ=1cos2θ

また①より、両辺をθで微分して

dxdθ=1cos2θ

dx=1cos2θdθ

また、①よりxθの対応表は

x|01
θ|0π4

これらを基本式に当てはめて

1011+x2=π40cos2θ1cos2θdθ=π401dθ =[θ]π40=π4

このように分母がうまく消えるので、計算が楽になります。

初版:2023/5/12

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