積分による立体の体積の求め方とその証明

積分による立体の体積の求め方についてまとめます。

x軸に垂直で、x軸との交点の座標がxの平面βによる立体の切り口の面積を$S(x)$とします。

この立体の$x = a,x = b(a < b)$の間にある部分の体積Vは以下の公式で表されます

$$\displaystyle V = \int_{a}^{b}S(x)dx(a < b)$$

x座標をそれぞれa,bとする平面をそれぞれ、$α,γ$とし、$α,γ$に囲まれる面積を$V(x)$とします。

$\Delta x > 0$のとき、$\Delta V = V(x + \Delta x) - V(x)$とすると、

$\Delta x$が十分に小さい時は

$\Delta V \fallingdotseq S(x) \Delta x(\Delta x < 0$の時も成り立つ)ので

$\displaystyle \frac{\Delta V}{\Delta x} \fallingdotseq S(x)$

$\displaystyle \Delta x \to 0$のとき、両辺はの差は0に近づくので

$\displaystyle V'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta V}{\Delta x} = S(x)$

よって

$V(b) = V,V(a) = 0$より

$\displaystyle \int_{a}^{b}S(x)dx = V(b) - V(a) = V$

初版:2022/3/11

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