置換積分を使った置換積分の基本公式
置換積分の考え方を使った置換積分の基本公式をまとめます。
置換積分の基本公式とその証明で示した
$\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du - ②$
②を元に公式が導かれます。
置換積分の基本公式
$F'(x) = f(x),C$を積分定数として
$$\displaystyle \int f(ax + b)dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C(a \ne 0) - ③$$
$$\displaystyle \int \{ g(x) \}^α g'(x)dx = \frac{\{g(x) \}^{α + 1}}{α + 1} + C(α \ne 1) - ④$$
$$\displaystyle \int \frac{g'(x)}{g(x)}{g(x)}dx = log|g(x)| + C(④でα = 1の時) - ⑤$$
$\displaystyle \int f(ax + b)dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C(a \ne 0) - ③$の証明
②において、$g(x) = ax + b$とします。
$\displaystyle \int \{ g(x) \}^α g'(x)dx = \frac{\{g(x) \}^{α + 1}}{α + 1} + C(α \ne 1) - ④$の証明
②において、$f(u) = u^a$とします。
$\displaystyle \int \frac{g'(x)}{g(x)}{g(x)}dx = log|g(x)| + C(④でα = 1の時) - ⑤$の証明
②において、$f(u) = \dfrac{1}{u}$とします。
初版:2022/3/7
