シュワルツの不等式とその証明

次の不等式をシュワルツの不等式といいます。

$a < b$として

$$\displaystyle \left \lbrace \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx \right \rbrace ^2 \leqq \Bigl( \int_{a}^{b} \{ f(x)\}^2dx \Bigl) \Bigl( \int_{a}^{b} \{ g(x)\}^2dx \Bigl)$$

等号成立は常に$f(x) = 0$ or 常に$g(x) = 0$ or $g(x) = kf(x)$(kは定数)の時のみ成り立つ。

まず、$f(x) = 0$または$g(x) = 0$の時は、両辺ともに0になるため、成り立ちます。

そうでない場合は、任意の実数tに対して

$\{tf(x) + g(x) \}^2dx \geqq 0$なので

$\displaystyle \int_{a}^{b}\{tf(x) + g(x)\}^2dx \geqq 0$

よって、

$\displaystyle t^2 \int_{a}^{b}\{f(x)\}^2dx + 2t \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx + \int_{a}^{b}\{ g(x) \}^2dx \geqq 0$ - ①

$\displaystyle \int_{a}^{b}\{ f(x) \}^2dx > 0$において、

このtの2次不等式が任意の実数tに対して成り立つので、
①の左辺 = 0とした2次不等式の判別式をDとすると

$\displaystyle \frac{D}{4} = \left \lbrace \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx \right \rbrace ^2 - \Bigl( \int_{a}^{b} \{ f(x)\}^2dx \Bigl) \Bigl( \int_{a}^{b} \{ g(x)\}^2dx \Bigl) \leqq 0$

移行すると

$\displaystyle \left \lbrace \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx \right \rbrace ^2 \leqq \Bigl( \int_{a}^{b} \{ f(x)\}^2dx \Bigl) \Bigl( \int_{a}^{b} \{ g(x)\}^2dx \Bigl)$

等号が成り立つのは、常に$tf(x) + g(x) = 0$の時、
kを定数とすると、$g(x) = kf(x)$と表されるとき

初版:2022/3/8

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