三角関数の極限の公式

$sin$をベースにした極限の公式の他にも$tan$と$cos$を使った極限の公式も覚えておきましょう

$\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1$

$\displaystyle \lim\limits_{θ \to 0} \dfrac{tanθ}{θ} = 1$

$\displaystyle \lim\limits_{θ \to 0} \dfrac{1 - cosθ}{θ^{2}} = \dfrac{1}{2}$

$tan$を$cos$と$sin$に分解していくことで、証明できます。

$\dfrac{tanθ}{θ} = \dfrac{1}{cosθ} \cdot \dfrac{sinθ}{θ}$

$θ \to 0$の時、$cosθ = 1$,$sin$は公式により1になるので

$\dfrac{tanθ}{θ} = 1 \cdot 1 = 1$

$\dfrac{1 - cosθ}{θ^{2}} = \dfrac{1 - cosθ}{θ^{2}} \cdot \dfrac{1 + cosθ}{1 + cosθ} = \left( \dfrac{sinθ}{θ} \right)^{2} \cdot \dfrac{1}{1 + cosθ}$

$θ \to 0$の時、$cosθ = 1$,$sin$は公式により1になるので

$\dfrac{1 - cosθ}{θ^{2}} = 1^{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$

$cos$の極限公式は頭に入れておくと便利です

初版:2023/7/20
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