原子のnレーンの軌道半径の求め方
原子のn($ = 1,2,3...$)の軌道半径の求め方について解説します。
$+e[C]$の原子核の周りでは、$-e[C]$の電子が質量$m$速さ$v_n[m/s]$で回っています。
電子は静電気力を向心力として円運動をします。
第$n$レーンの半径を$r_n$、クーロンの比例定数を$k$とすると、円運動の運動方程式より
$\displaystyle m \dfrac{{v_n}^{2}}{r_n} = k \dfrac{e^2}{{r_n}^{2}} - ①$
量子条件より
$\displaystyle 2πr_n = n \dfrac{h}{mv_n} \leftrightarrow v_n = n \dfrac{h}{2πmr_n} - ②$
①に②を代入します。
$\displaystyle m \dfrac{1}{r_n} \cdot \dfrac{n^2h^2}{4π^{2}m^{2}{r_n}^{2}} = k \dfrac{e^2}{{r_n}^{2}}$
両辺を${r_{n}}^{3}$します。
$\displaystyle \dfrac{mn^2h^2}{4π^{2}m^{2}} = k e^{2}r_n$
両辺を$ke^{2}$で割って
$\displaystyle r_n = \dfrac{n^{2}h^{2}}{4π^{2}kme^{2}}[m]$
以上、運動方程式と量子条件で求めることができました。
初版:2023/7/27
