ケプラーの法則

ケプラーの3つの法則をまとめます。

惑星は恒星(太陽など)を一つの焦点とする楕円起動を描く

惑星と恒星が結ぶ線分が単位時間に経過する面積を面積速度といいます。

その面積速度が一定になることをケプラーの第2法則と言います。

太陽を焦点として回る2つの惑星がそれぞれ半径r,速度v,半径R,速度Vで公転しているとすると、
面積速度一定により、次の公式が成り立ちます。

$$\dfrac{1}{2}rv = \dfrac{1}{2}RV$$

焦点との距離(半径)が長いために三角形の面積とみなして計算しています。

同じ恒星の周りを回る各々の惑星の楕円軌道の長半径をa、公転周期をTとすると、
惑星の公転周期Tの2乗は楕円の起動起動の長半径$a$の3乗に比例します。

これをケプラーの第3法則と言います。

$$\displaystyle \frac{T^2}{a^3} = 一定$$

一定値なので、比例定数を$k$(公転の対象焦点が同じならでも同じ値になる)とすると、

$$\displaystyle T^2 = ka^3$$

質量$m$の衛星が地球から半径$a$のところを等速円運動しているとします。

この衛星の速さを$v$とし、周期$T$で地球を回っているとするとこの衛星の速さは

$vT = 2πa$
$v = \dfrac{2πa}{T}$

この衛星が受ける向心力を$F$とすると、円運動の方程式より

$F = m \dfrac{v^2}{a} = \dfrac{4π^{2}ma}{T^2}$

この向心力$F$は万有引力によるものなので、万有引力定数を$G$、地球の質量を$M$とすると、

$ \dfrac{4π^{2}ma}{T^2}= G \dfrac{mM}{a^2}$

$\dfrac{a^3}{T^2}$の形に整理すると

$ \dfrac{a^3}{T^2}= \dfrac{GM}{4π^2}$

$G$は万有引力定数、$M$は円運動の焦点となる惑星の質量なので、右辺は衛星の重さに関係なく一定であることがわかります。

$\dfrac{a^3}{T^2}$は、焦点となる天体の質量のみに依存するため、ケプラーの法則が成立します。

注:$\dfrac{T^2}{a^3}$でも定数なので、成り立ちます。

初版:2022/7/25
改訂:2022/9/13(ケプラー3法則に比例定数版を追加した)
2023/8/6(説明追記)
2023/10/6(ケプラー3法則に証明を追加)